Stoßtransformationen
Für die Untersuchung einer größeren Menge Stöße in
einem idealen Gas harter Kugeln eignet sich die Einführung einer sehr
einfachen und vor allem leicht zu begründenden Wechselwirkung. Bei der
Berührung zweier harter Kugeln kann die Geschwindigkeit wegen des
Widerstandes der anderen Kugel in Richtung der Berührpunktnormale nicht
weiter auf der ursprünglichen Kugel fortgesetzt werden. Das geht nur auf der
anderen Kugel. So überträgt sich der Geschwindigkeitsbetrag parallel zur
Berührpunktnormale vollständig auf die jeweils andere Kugel. Orthogonale
Geschwindigkeiten werden dagegen nicht in ihrer freien Bewegung durch den
leeren Raum gehindert und setzen sich auf den ursprünglichen Kugeln fort.
Die stoßenden Vektoren u und v
haben jeweils 3 Komponenten.
Für die Stoßachsenermittlung ist zuerst die
Relativgeschwindigkeit erforderlich.
(1)
Die Richtung der Relativgeschwindigkeit wird mit der
Kugelkoordinaten-Transformation ermittelt, für die hier die in Mathcad
eingebaute Funktion verwendet wird:
(2)
(3)
Bei den Ergebnissen mit der ausführlichen Transformation
gemäß dem Artikel über Kugelkoordinaten in Wikipedia, nimmt F Werte von 0 bis 2 p an.
Die Stoßachsenwinkel ergeben sich i.A.
zufallsabhängig, wobei gleichwahrscheinliche parallele Bahnen zur Richtung
der Relativgeschwindigkeit angenommen werden. Das ist auf
gleichwahrscheinliche parallele Bahnen bei den Stoßpartnern zurückzuführen.
Damit ergibt sich in kartesischen Koordinaten der Stoßachsenvektor:
(4)
Dieser wurde relativ zur Richtung der
Relativgeschwindigkeit w(u,v) erzeugt und muss nun im
ursprünglichen Koordinatensystem (dem Laborsystem von u und v)
ausgedrückt werden, was durch zwei hintereinander ausgeführte Drehungen
erreicht wird:
(5)
(6)
Damit ergibt sich die Stoßachse im ursprünglichen
Koordinatensystem durch das zweifache Zurückdrehen zu:
(7)
Dieses S entspricht beim Zentralstoß auf eine ruhende
Kugel dem ursprünglichen u bzw. beim Zentralstoß auf ein beliebiges v
allgemeiner dem Relativgeschwindigkeitsvektor w normiert auf 1.
Beim Stoß werden nun die zur Stoßachse parallelen
Geschwindigkeiten der beiden beteiligten Kugeln ausgetauscht. Alle Vektoren
sollen jedoch weiterhin im ursprünglichen Koordinatensystem betrachtet
werden.
(8)
parallele Geschwindigkeiten
(9)
(10)
orthogonale Geschwindigkeiten
(11)
(12)
Geschwindigkeiten nach Stoß
(13)
(12) und (13) sind die Stoßtransformationen für
dreidimensionale Geschwindigkeitsvektoren. Es sind jeweils Funktionen von
sechs Parametern, also je drei Geschwindigkeitskomponenten in kartesischen
Koordinaten und zwei Winkeln für die sich zufällig ergebende Stoßachse. Die
Ergebnisse hängen demnach jeweils von vorher (weiter oben) definierten
Funktionen ab und ergeben dreidimensionale Geschwindigkeitsvektoren.
Stichworte (Ende)
Wiese, Lothar: Struktur und Dynamik der Materie im
Uratom-Modell, http://www.localisator.de/atom, Porec und Sarajevo 2000-2005
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