Inhalt:

1. Stoßachsenwinkel
2. Vektorwinkel
2.1 Grundsätzliches zur Stoßhäufigkeit
2.2 Bedingte Stoßfrequenzdichte für ein bewegtes Teilchen
2.3 Abhängigkeit der Stoßfrequenz vom Flugwinkel b
2.4 Konstruktion einer Stoßfrequenz-Wahrscheinlichkeitsdichte

Im betrachteten harte Kugeln Gas (HKG) soll zumindest anfangs davon ausgegangen werden, dass alle n Ausgangsorte homogen im dreidimensionalen Raum, also gleichverteilt, vorkommen. Alle Flugrichtungen seien wegen der Isotropie ebenfalls gleichwahrscheinlich. Parallele Flugbahnen mit durchschnittlich gleichen Abständen voneinander sind ebenfalls zulässig (rot). Bewegte Kugeln mit festem Durchmesser d müssen zwangsweise irgendwann zu Stößen führen. Zum Zeitpunkt des gegenseitigen Berührens bildet die Relativgeschwindigkeit (dick rot) die z-Richtung eines Koordinatensystems. Relativ zu dieser ist die Stoßachse (Berührpunktnormale) auf der Kugel mit dem Durchmesser 2 d durch den Stoßachsenwinkel q und den frei wählbaren Winkel f definiert (in Bild 1 vertauscht).

Bild 1
(f und q vertauscht)

1. Stoßachsenwinkel

Für den Stoßachsenwinkel 0 < q < p/2 werden folgende Wahrscheinlichkeitsdichte und -verteilung angenommen:

(1)

(2)

Der Mittelwert des Stoßachsenwinkels spielt in dem gesamten Modell eine wichtige Rolle. Er ermittelt sich einfach zu:

= p / 4 = 45 °.

Bild 2

Die Wahrscheinlichkeitsfunktion ergibt symbolisch:

(3)

Deren Umkehrfunktion:

(4)

kann deshalb der Zufallsgenerator rnd(1) zugeordnet werden:

mit dem zufälligen Wert:

(5)

Für den Winkel q gilt wegen der Symmetrie der Drehung um die Relativgeschwindigkeit, dass dieser im vollen Kreis mit der Wahrscheinlichkeitsdichte 1 / 2 p gleichverteilt ist. Deshalb ergibt sich als Zufallsgenerator:

(6)

Für den wichtigen Öffnungswinkel q, welcher der eigentliche Stoßachsenwinkel ist, muss nun die Gleichverteilung von möglichen Flugbahnen auf der zum Relativgeschwindigkeitsvektor orthogonalen Kreisfläche berücksichtigt werden. Erreicht wird das durch die Zuordnung von

(7)

Das ist eine angepasste Zufallsverteilung auf dem Durchmesser, die mit dem Winkel f beliebig gedreht werden kann. Beispielsweise mit

(8)

(9)

(10)

ergibt sich für die Verteilung der Stoßachsenwinkel auf der Kugeloberfläche:

Bild 3

Deutlich ist das weniger dichte Vorkommen von Stoßachsenwinkeln am Rand zu erkennen. Wenn man mit s für die für die parallelen Flugbahnen in der Kreisebene das Bild betrachtet, ergibt sich eine gleichmäßige Verteilung der Punkte:

(11)

Bild 4

Bei Zusammenstößen ist darüberhinaus interessant, auf welche Art der Relativgeschwindigkeitsvektor w gebildet wurde. Die ursprünglichen beiden Vektoren v und u können einen Winkel zueinander bilden. Dieser ist von der Bewegung des gewählten Koordinatensystems abhängig. Einer der beiden Stoßpartner (hier u) kann deshalb mit seiner Bewegung in x-Richtung gelegt werden (für das Bild). Es zeigt sich jedoch, dass dieser bei den späteren Rechnungen besser in z-Richtung gelegt wird. Bei der Bildung der Relativgeschwindigkeit bleibt diese Richtung im Laborsystem erhalten. Der Flugwinkel b (zwischen v und u) gilt wie der Winkel Q der Relativgeschwindigkeit w im System der mit u (Geschwindigkeitsbetrag) bewegten Kugel.

2. Vektorwinkel

2.1 Grundsätzliches zur Stoßhäufikeit

Bild 5
(anstelle F sollte Q stehen)

Gemäß der Skizze seien:

(12)

und damit:

also

(13)

Nach Bild 5 wird deutlich, dass es zu einem Stoß nur kommen kann, wenn der Relativgeschwindigkeitsvektor in Richtung der Kugel mit dem Radius 2 d zeigt, welche mit einem gedachten ruhenden Stoßpartner gebildet wird (vgl. unten).

In der Ausgangssituation soll vorerst ein Medium betrachtet werden, bei dem die Anzahldichte gleich verteilt und die vorkommenden Geschwindigkeiten normal verteilt sind. Die Wahrscheinlichkeitsdichten ergeben sich dabei nach den geometrischen Grundüberlegungen der Wahrscheinlichkeitsrechnung und führen zu den bekannten Maxwellschen Verteilungsfunktionen. Außerdem sei ein festes Koordinatensystem so gewählt, dass die räumlichen Koordinaten und die Zeit reell sind und orthogonal zueinander stehen. Die x- oder 1-Achse liege in der Richtung einer willkürlich ausgewählten Probekugel, welche sich gerade mit Durchschnittsgeschwindigkeit in positiver Richtung bewegt. Ihr Durchmesser sei 2 d, weil damit alle für einen Stoß in Frage kommenden Kugeln als Punkte angesehen werden können. Die Anfangsorte der Probekugel liegen in einem Zylinder mit gleicher Wahrscheinlichkeit an jedem Ort und die aller durch Punkte dargestellten Kugeln demnach in einem Volumen, welches nur durch die maximale Geschwindigkeit beschränkt ist und das vom Anzahldichte- Erwartungswert bestimmt wird. Der Einfachheit halber wird hier der Zusammenhang verwendet, dass die durchschnittliche freie Weglänge L mit der Anzahldichte n und dem Durchmesser d folgendermaßen bestimmt ist:

Das betrachtete HKG wird durch n Teilchenorte und n Teilchengeschwindigkeiten beschrieben. Mit einem Zeitparameter t lassen sich demnach alle Teilchenorte zu einem beliebigen Zeitpunkt t bestimmen.
Darüber hinaus soll das HKG noch eingebettet in eine Umgebung gedacht werden, welche ebenfalls durch ein HKG gebildet wird. Dessen Eigenschaften sollen nur in Form von Parametern zugrunde gelegter Zufallsverteilungen bekannt sein. Die Wechselwirkungen in Form von Stößen müssen deshalb durch Zufallsgeneratoren erzeugt werden.

wird als willkürliche Maßeinheit der Länge gewählt.

(14)

(15)

Dieser Zusammenhang entsteht durch eine gedachte Verschiebung aller Kugeln in eine voll aufgefüllte Ebene wie in der kinetischen Gastheorie. Damit gilt dann für die absolute Zusammenstoßhäufigkeit (Stoßfrequenz):

=

(16)

Die Relativgeschwindigkeit ist nach Bild 5 durch

(17)

definiert.

Die sich ergebenden Relativgeschwindigkeiten (rot), auf eine bewegte Kugel zu und von einem etwa gleich weit entfernten Bereich um dieses Probeteilchen herum mit jeweils gleichem Geschwindigkeitsbetrag eines Stoßpartners, sind in Bild 5 zu erkennen.

Bild 6

Seien nun verschiedene u beliebige in dem betrachteten HKG zulässige Geschwindigkeitsbeträge eines Probeteilchens und v der Geschwindigkeitsbetrag von möglichen Stoßpartnern. Dann gilt:

(18)

(19)

Womit sich beliebige Relativgeschwindigkeiten ermitteln lassen, z.B.:

Mit

lassen sich nun die Relativgeschwindigkeitsbeträge abhängig vom

Flugwinkel b auch grafisch darstellen, z.B. mit Durchschnittsgeschwindigkeitsbetrag:

Bild 7

Aus dem Zusammenhang zwischen Herkunfts- = Kollisionswinkel F und Flugwinkel b lässt sich wie aus Bild 5 ersichtlich auch deren Zuordnung zu den Relativgeschwindigkeitsbeträgen bilden:

(20)

(21)

Diese können wiederum grafisch dargestellt werden (Bild 7) und zeigen die vermutete Asymmetrie.

Bild 8

2.2 Bedingte Stoßfrequenzdichte für ein bewegtes Teilchen

Interessant ist hier vor allem die Abhängigkeit der sich ergebenden Kollisionswinkel F von den Relativgeschwindigkeitsverteilungen, welche vorerst vereinfacht unabhängig von diesen als standard-normal, also N(0,1) verteilt, angenommen werden sollen. Die bedingte Wahrscheinlichkeitsdichte für das Auftreffen eines Punktes aus einem bestimmten Winkel auf die betrachtete Probekugel ergibt sich deshalb aus dem Produkt der beiden Wahrscheinlichkeitsdichten mit der verschobenen Verteilung der Relativgeschwindigkeit (vgl. Brendel_phi.pdf). Das drückt sich in den hier (aus Symmetriegründen vorerst) interessierenden zwei Dimensionen durch die vereinfachte Wahrscheinlichkeitsdichte:

(22)

aus,

woraus mit u in x-Richtung folgt:

(23)

was sich in Polarform

(24)

schreibt.

Das erste Moment (Mittel- oder Erwartungswert) dieser Funktion liefert die bedingte Frequenz von Stößen aus der Richtung F auf ein mit dem Geschwindigkeitsbetrag u fliegendes Teilchen. Um in der grafischen Darstellung einen den Bildern 4 und 5 entsprechenden Eindruck zu erzielen, dass die von rechts kommenden Kugeln häufiger treffen, könnte ein Faktor -1 eingefügt werden.

(25)

Deren graphische Darstellung bereitet kein Problem:

Bild 9

Die Abhängigkeit der Stoßfrequenz vom Flugwinkel b lässt sich ebenfalls mit (25) grafisch darstellen, indem dort anstelle F das abhängige F(u,b) eingesetzt wird:

(26)

(27)

Bild 10

Aus den Bildern 9 und 10 wird die vermutete Asymmetrie der Stoßfrequenz in Abhängigkeit von den Winkeln F bzw. b deutlich. Sie ist viel größer als bei der reinen Betrachtung der Relativgeschwindigkeiten ohne Berücksichtigung der Geschwindigkeitsverteilungen. Von vorn treffen die Probekugel mehr Teilchen als von der Seite oder von hinten. Für b bei großen u ergibt sich eine Anschmiegung der F(u,b) und deshalb eine erneute Abnahme der Stoßfrequenzdichte.

Bild 11

Zur Verwendung als Zufallsgenerator wird jetzt versuchsweise w(u,F) = 0 gesetzt:

(28)

Eine Auflösung nach F gelang leider nicht.

Das Integral für beliebige u lässt sich aber ermitteln, z.B:

(29)

Bei der Mittelung über alle Geschwindigkeiten u

(30)

gelingt im verwendeten Computeralgebrasystem (CAS) die Umformung nur bis:

(31)

und

=

(32)

ist nach B_stoss.pdf noch eine mögliche Vereinfachung.

Wegen der einbezogenen vom Winkel unabhängigen Geschwindigkeitsverteilung, hier repräsentiert von der Durchschnittsgeschwindigkeit, lässt sich aber der Zufallsgenerator für F denken. Zuerst muss folgendes Integral ermittelt werden:

(33)

Wird das ursprüngliche nicht vereinfachte Integral (25) verwendet, ermittelt das CAS den gleichen Wert, was die Vereinfachung bestätigt. Damit wird

(34)

und

(35)

Zur Probe die Funktionswerte an einigen Stellen:

F(F) ist also Verteilungsfunktion und f(F) Wahrscheinlichkeitsdichte, was numerisch und graphisch nachvollzogen werden kann:

Bild 12

Jedem Wert zwischen 0 und 1, welcher zufällig durch rnd(1) erzeugt werden kann, muss demnach eindeutig ein Winkel f zuordenbar sein. Die symbolische Integration von:

(36)

gelingt allerdings wiederum nicht mit Mathcad. Eine Auflösungsmöglichkeit nach F und Verwendung als Zufallsgenerator für dieses ist nicht zu erkennen.

Weil aber der Zufallsgenerator n zufällig gemäß einer gegebenen Verteilungsfunktion verteilte Zahlen liefern soll, kann die unnötige Auflösung übersprungen und gleich ein Verfahren zur numerischen Lösung eingesetzt werden. Sei beispielsweise obiges F(F) gegeben, wird dies mit rnd(1) als implizite Funktion FG ausgedrückt:

(37)

und zur Nullstellenbestimmung die Lösungsmenge mit einer Näherungslösung aus dem zulässigen Intervall initiiert:

sowie dann die root-Funktion verwendet:

(38)

Auf diese Art lassen sich beispielsweise auch n solche Zahlen F ermitteln:

(39)

Diese Winkel sind jedoch von der durchschnittlichen Geschwindigkeit beeinflusst. Hieraus lassen sich mit w(u,F) auch Wertepaare zufälliger Geschwindigkeitsbeträge mit zufälligem Kollisionswinkel F erzeugen. Dazu muss aber erst die Normierung von w überprüft werden. Dann sind n zufällige Geschwindigkeitsbeträge beispielsweise mit rnorm(n,a,s) zu erzeugen und mit diesen ist jeweils w zu normieren und dann ein zugehöriges F zu generieren. Wegen der angenommenen Unabhängigkeit des Geschwindigkeitsbetrags v von der Richtung F kann nun wiederum mit rnorm(n,a,s) zu jedem Paar (u,F) das zugehörige (v,b) errechnet werden.

2.3 Abhängigkeit der Stoßfrequenz vom Flugwinkel b

Zuerst werden zufällige Vektoren u erzeugt, bei welchen aber wegen des vorläufig verwendeten rnorm(n,a,s) darauf geachtet werden muss, dass diese nicht negativ werden. Die F werden von oben genommen:

(40)

Deren tabellarische Anordnung erfolgt nur übersichtshalber

Ähnliches erfolgt für v und die neue Tabelle:

(41)

Laut Bild 8 und (20) wird b :

(42)

und damit werden

(43)

die gewünschten Vektoren mit möglicher Häufung um p, also häufigen Frontalstößen.

Noch nützlicher wäre allerdings ein Zufallsgenerator ohne explizite Kenntnis einer Wahrscheinlichkeitsverteilung, nur auf der Basis einer bekannten Menge sich bewegender Kugeln. Die kontinuierlichen Zwischenwerte müssten dann durch Interpolation gewonnen werden.
Unberücksichtigt ist bisher auch die Möglichkeit, dass keine Standardnormalverteilung bzw. Maxwellverteilung zugrunde gelegt werden darf, sondern eine N(1,s)-Verteilung der Geschwindigkeitsbeträge bzw. gar eine "tatsächliche" noch unbekannte Geschwindigkeitsverteilung. Auch sollte die spätere Simulation von Stößen noch die Anzahldichte r bzw. d/L und einen damit bestimmbaren Zeitfaktor für den nächsten Stoß, berücksichtigen (vgl. (15)).
Der Einfluss einer möglichen variablen Geschwindigkeitsstreuung wurde in der Frontalstoßbeweisidee zwar anfangs angenommen, später aber durch den Einfluß von Brendel_beta.pdf in betavert.htm verworfen (Flugwinkeluntersuchungen mit Stoßkegel). Der Widerspruch bei den unterschiedlichen Vorgehensweisen ist durch obige Erzeugung von Häufungen um "Frontalstöße" noch nicht ganz ausgeräumt. Die Unabhängigkeit der Stoßfrequenz vom Flugwinkel b gilt ja nur bei der verworfenen alten Vorgehensweise vom Stoßkegel aus, wo einfach der Versuch mit einem Stoßpartner vielfach wiederholt wurde. Deshalb soll nochmals bei der Ausgangssituation zur Ermittlung einer Wahrscheinlichkeitsdichte für die Stoßfrequenz begonnen werden.

2.4 Konstruktion einer Stoßfrequenz-Wahrscheinlichkeitsdichte

Ausgegangen wird von einer als bekannt vorausgesetzten Wahrscheinlichkeitsdichte für die Geschwindigkeit, welche hier erst einmal einer N(a,s)-Verteilung mit Werten von v > 0 zugeordnet sein soll. Die Parameter sollen noch willkürlich gewählt werden, um nicht von vornherein die Maxwellverteilung zu präjudizieren:

und der Wahrscheinlichkeitsdichte für den Flugwinkel

Damit ergibt sich die zweidimensionale Wahrscheinlichkeitsdichte für das "Fliegen" eines Teilchens:

(44)

mit

für kleine s (bei großen gibt es Bereichsüberschneidungen)

In kartesischen Koordinaten wird daraus:

mit

(45)

und der daraus folgenden Funktionaldeterminante für die Koordinatentransformation:

(46)

also

(47)

folgt

(48)

was sich leicht grafisch darstellen lässt und die hier gewünschte Wahrscheinlichkeitsdichte veranschaulicht. Normalerweise ist aber der Gebrauch der maxwellschen Geschwindigkeitsverteilung mit dem Bild eines Gausberges üblich.

Bild 13

Mit dieser Wahrscheinlichkeitsdichte lässt sich nur die Wahrscheinlichkeit für das Vorkommen einer Geschwindigkeit in der (aus Symmetriegründen) betrachteten Ebene ermitteln. Nun soll aber ein zweites Teilchen mit diesem zusammenstoßen.

Das Vorkommen von zwei zufälligen Geschwindigkeiten und des zufälligen Flugwinkels b der beiden Geschwindigkeiten zueinander, in der aus Symmetriegründen betrachteten Ebene, ist unabhängig voneinander. Deshalb kann die Dichte f(u,v,b), die sich aus dem Produkt der Einzeldichten ergibt, verwendet werden.

(49)

Die enthaltenen Dichten, nur umgestellt, ergeben die Wahrscheinlichkeitsdichte:

(50)

In dieser Form hilft diese Wahrscheinlichkeitsdichte hier aber nicht weiter, weil nur das sowieso bekannte in allen Raumrichtungen homogen verteilte Fliegen der Teilchen betrachtet wird. Außerdem nicht mit berücksichtigt ist in dieser Wahrscheinlichkeitsdichte der mögliche Einfluss unterschiedlicher freier Weglängen der beteiligten Teilchen auf das Zusammentreffen zur gleichen Zeit am gleichen Ort. Ausgedrückt werden kann das durch die freie Weglänge L oder die Anzahldichte n, bei festem Teilchendurchmesser d. Deshalb wird erst einmal eine unabhängige Wahrscheinlichkeitsdichte für n oder L gesucht.

Allgemein wird in der Thermodynamik zur Herleitung der maxwellschen Geschwindigkeitsverteilung meist von einem kanonischen Ensemble und dessen Verteilungsfunktionen ausgegangen. Maxwell selbst ging von der Annahme aus, dass die gesuchte dreidimensionale Wahrscheinlichkeitsdichte aus dem Produkt der Randdichten gebildet wird und dass sie eine Funktion der kinetischen Energie der Teilchen ist. Obwohl die Abhängigkeit vom Ortsvektor meist weggelassen werden kann, wird dieser doch für die Normierung dadurch verwendet, dass die Integration über die zulässigen Geschwindigkeiten und das betrachtete Volumen V gerade die Teilchenzahl N in diesem Volumen ergeben muss. Dabei gilt n = N / V mit 0 < N < 1. Im betrachteten einfachen HKG wird die Teilchenanwesenheit aber als gleichmäßig verteilt angenommen und deshalb können die Parameter der Anzahldichte vorerst weggelassen werden. Richtungsabhängige Geschwindigkeits- und Anzahldichteasymmetrien werden vorerst als lokal unabhängig von Nachbarpunkten angenommen. Für die Wahrscheinlichkeitsdichte der Stoßfrequenz in Abhängigkeit von den Flugwinkeln folgt deshalb
beim Interesse an der reinen Geschwindigkeitsverteilung, dass alle überflüssigen Größen möglichst eliminiert werden sollen. So fällt die Abhängigkeit von n durch die Normierung gleich wieder weg, wenn das Interesse sich auf die Winkelabhängigkeit bezieht.
Wird nun angenommen, dass die Geschwindigkeiten jeweils N(a,s) verteilt sind, ergibt sich die Stoßwahrscheinlichkeitsdichte aus dem Produkt der Dichten:

und

(51)

sowie

Die x und y sind aber noch Vektoren. Diese werden nun im Ruhsystem des Teilchens u betrachtet, wobei der erste Vektor durch Subtraktion von sich selbst verschwindet und für den zweiten steht v - u, also die Relativgeschwindigkeit. Die winkelabhängige Stoßfrequenz-Wahrscheinlichkeitsdichte wird deshalb einfach durch die Transformation der Dichte (50 ) in das mit einem Teilchen u mitbewegte Koordinatensystem eingeführt. Dabei ergibt sich im ersten Teil der obigen Dichte exp(u -u....) und im zweiten Teil exp(v - u ...), also die Relativgeschwindigkeit w.
In Abhängigkeit von b schreibt sich die Relativgeschwindigkeit als:

(52)

wobei zuerst eine Koordinatenverschiebung und dann die Rücktransformation in polare Koordinaten unter Berücksichtigung der Funktionaldeterminante durchgeführt wird. Die Relativgeschwindigkeit ist aber keine umkehrbar eindeutige Abbildung, weshalb das noch mit Skepsis betrachtet wird. Es ergibt sich:

(53)

wobei die Definition der neuen a und s noch offen gelassen wird.

Als Mittelwert über alle v folgt nun:

(54)

und mit beliebigem u, hier z.B. mit

ist (54) eine bedingte Wahrscheinlichkeitsdichte bei 0.04 < s < 0.35, welche für a = 0 und s = 1 der in Brendel_stoss.pdf (Gl. (33) und Abbildung 1) verwendeten Dichte für die Stoßfrequenz entspricht und den gleichen Zusammenhang wie mit (25) ergibt. Ungleich 1 wird dieses Integral durch Rechenungenaugkeiten sowie unzulässige vorkommende Geschwindigkeiten < 0 durch die zugrundegelegte Normalverteilung.

Es sei nun

und

Bild 14

Aus (54) kann ein bedingtes F(u,b) konstruiert werden, wobei sinnvollerweise a = 1 gesetzt wird, weil in dem vorerst betrachteten einfachen homogenen und dünnen HKG der Erwartungswert der Geschwindigkeit 1 ist. Die Funktion braucht nicht normiert zu werden, weil das Integral über f(u,b,1,s) gleich 1 ist für die interessierenden Geschwindigkeitsstreuungen.
Der Zufallsgenerator für b ergibt sich demnach einfach aus der impliziten Funktion mit

(55)

Mit einem anfänglichen b indiziert wird der Zufallsgenerator, wegen Rechenzeit- und Speicherbegrenzung hier nur zur Probe:

(56)

also

Auf gleiche Art muss sich nun allerdings auch der Zufallfgenerator unter den zwei Bedingungen, u und v konstruieren lassen, weil ja die beiden Geschwindigkeitsbeträge zufallsabhängig sind und es gleichgültig sein muss, ob diese vor oder nach der zufälligen Flugwinkelbestimmung bekannt sind. Es kann also direkt (53) verwendet werden:

mit beliebigen u und v sowie a und s ist

allerdings im Allgemeinen ungleich 1. Um das für den gesuchten Zufallsgenerator verwenden zu können, ist die Funktion für alle u und v zu normieren, woraus folgt:

(57)

Der Zufallsgenerator wird wieder durch die implizite Funktion für b definiert:

(58)

Zur Probe wird ein zufälliger Wert ermittelt, wobei auch ein willkürlicher Wert zur Initialisierung von b eingesetzt wird:

Durchläuft y_k verschiedene Werte, kann die Abhängigkeit von den einzelnen Variablen und Parametern auch grafisch dargestellt werden:

Bild 15

Mit b_zg(u,v,b,a,s,y) ist nun ein Zufallsgenerator für Stoßsimulationen bzw. eine implizite Funktion konstruiert, mit der eine analytische Untersuchung des Einflusses von Veränderungen der Parameter a und s möglich wird. Damit lässt sich testen, mit welcher Standardabweichung s die Maxwellsche Geschwindigkeitsverteilung bzw. eine entsprechende Normalverteilung als Grenzwert bei vielen Stößen herauskommt.

Angewendet wird das bei den Untersuchungen zufälliger Stöße.