Axiome für die Beschreibung von
Eigenschaften unterhalb des Standardmodells und der ART durch ein einfaches Gas
harter Kugeln (HKG)
Ausgangspunkt für die folgenden Überlegungen, welche die
bewährten physikalischen Theorien des Standardmodells und der Allgemeinen
Relativitätstheorie nicht in Zweifel stellen, ja diese sogar umfassen sollen,
sind einige, möglicherweise trivial
erscheinende Axiome und daraus folgende Sätze:
Axiom 1: Alles mit unseren Sinnen reproduzierbar Wahrnehmbare
existiert.
Axiom 2: Zulässig (wahr) sind Beschreibungen, die Axiom 1 (A1)
erfüllen.
Modelle sind
vor allem dann erfolgreich, wenn sie A2 anwenden.
Beispielsweise
ist das beim Standardmodell (ergänzt durch die ART, was hier immer angenommen
wird, wenn vom Standardmodell die Rede ist) der Fall. Im Verhältnis zu den
vielfältigen sehr genauen Vorhersagen von Versuchsergebnissen sind die offenen
Probleme klein. Diese können aber nicht verleugnet werden, was mit zur Suche
nach deren Lösung, auch durch eine Erweiterung um bisher unbeobachtbare
hypothetische Objekte beiträgt. Die "Bohmsche Mechanik"
beispielsweise führt verborgene Variable rein mathematisch ein und kann damit
einige Verständnisprobleme durch eine gewisse Anschauung lösen, wird aber
gerade wegen der Nichterfüllung von A2 nicht allgemein anerkannt. In neueren Äthertheorien geht man auch von
einer atomistischen Struktur aus, es fehlt jedoch wie bei der neueren
Quantengravitation (Stringtheorien sind erster Anwärter für deren Realisation)
die wünschenswerte Erklärung bzw. Verringerung von ins Modell zu steckenden
Naturkonstanten (z.B. c oder h). Deshalb erscheinen auch noch
folgende Ergänzungen sinnvoll:
Axiom 3: Von allen möglichen Beschreibungen ist die einfachste die
beste (Occams razor).
Außerdem wird
hier ein Axiomensystem wie in "Ensembles"
vorausgesetzt, das zur "Konsistente-Experimente-Interpretation"
in der Physik-FAQ
von Arnold Neumaier führt. Zusammengefasst und stark vereinfacht, weil es hier
nicht verwendet wird, lautet das nur:
Axiom 4: Es existiert eine Menge E von Mengen, welche als Ensembles
bezeichnet werden, die eine Beschreibung der uns umgebenden Realität
ermöglichen.
Formal werden im
Wesentlichen drei mathematische Objekte zu deren Beschreibung im Rahmen des
Standardmodells festgelegt:
„1. eine fixe Algebra
E von Operatoren auf einem dichten Teilraum eines universellen Hilbertraums,
2. ein
selbstadjungierter universeller Hamiltonoperator H aus dieser Algebra,
Für das reale Universum
ist die Algebra E der Größen von den Feldern des Standardmodells
zusammen mit der Raumzeitmetrik erzeugt, und der Hamiltonoperator der aus der
zugehörigen Wirkung kanonisch hergeleitete. Der Zustand des Universums ist
hingegen weitgehend unbekannt, da eine Kenntnis desselben im Rahmen der
Konsistente-Experimente-Interpretation die Kenntnis aller Werte sämtlicher
Felder und Korrelationsfunktionen beliebiger Ordnung an allen Orten und zu
jeder Zeit impliziert. Dagegen sind die Zustände vieler Teilsysteme
einigermaßen bekannt, insbesondere derer, mit denen Physiker experimentieren“ (S22. Ein Modelluniversum).
Die grundlegende
Annahme der Konsistente-Experimente-Interpretation ist nun die, dass die
objektiven Aspekte des Universums durch ein Ensemble (statistische
Gesamtheit) in einem abstrakten Sinn gegeben sind, und alles Messbare durch Erwartungswerte
in diesem Universalensemble oder Funktionen von solchen Erwartungswerten (S13. Motivation für die
Konsistente-Experimente-Interpretation). Die Bezeichnung E deutet auf
den Begriff des Ensembles hin.
Zur Erfüllung
von A1 werden physikalische Theorien so formuliert, dass sie
Naturgesetze mit ihren fundamentalen Naturkonstanten als weitere Axiome
enthalten. Die wichtigsten dieser Theorien werden als Standardmodell
zusammengefasst. Alle anderen Naturgesetze können daraus abgeleitet werden. Der
Beweis dieser Aussage ist Gegenstand der heutigen Physik. Hier soll nun eine
Erweiterung außerhalb des Standardmodells untersucht werden, die zwar nicht
mehr A2 erfüllt, aber zumindest eine leicht verständliche Zuordnung zu
Begriffen aus unserer Makroumgebung erlaubt.
So wie
Zusammenfassungen durch Mittelwert- bzw. Ensemblebildung in der Physik größere
Systeme beschreiben und Messungen zugänglich machen, kann zu deren Erklärung
die Existenz von kleinen Objekten außerhalb denen des Standardmodells
angenommen und möglicherweise mit bekannten Hilfsmitteln beschrieben werden,
was zu zeigen ist. Deshalb erfolgt hier als Arbeitshypothese ein
vorübergehender Schnitt zur traditionellen Physik.
Die
Motivation aus 1.1 führt zu folgendem:
Axiom 5 (Grundmengenaxiom): Es existiert einzig und allein eine
Menge Ω unendlich vieler, sich im
3-dimensionalen Raum bewegender gleich großer fester Kugeln. Diese durchdringen
den leeren Raum gleichförmig geradlinig. Eine Annäherung an eine andere Kugel
erfolgt bis zum Zusammenstoß (Berührung), bei dem nur die Geschwindigkeitskomponenten
in Richtung der Stoßachse (Berührungsnormale) ausgetauscht werden.
Zur
Beschreibung bieten sich verschiedene mathematische Begriffe an. Elementar ist beispielsweise eine Zuordnung
von Geschwindigkeitsvektoren zu den Kugelmittelpunkten. Damit erhalten wir 3 N
Größen in der vierdimensionalen Raumzeit, die wir irgendwie mathematisch
beherrschen müssen, um Vorhersagen für die Entwicklung von Strukturen in dieser
Menge machen zu können. Besonders geeignet sind die mathematischen Methoden der
statistischen Thermodynamik für ein ideales Gas harter Kugeln, die durch A4
voll und ohne Einschränkung zur Verfügung gestellt werden. Gezeigt werden soll
weiter unten allerdings auch die Verfügbarkeit einer Operation für die
Beschreibung des spontanen Geschwindigkeitsübertrags durch Tausch von
Geschwindigkeitskomponenten (Transposition). Bisher wird dafür meist ein
Potenzial (z.B. Lennard-Jones-Potenzial) verwendet, das weitere Fragen nach
seiner Ursache aufwirft.
Aus A5 folgt direkt
der
SATZ 1: Alle physikalischen Systembildungen,
Symmetrien, Wechselwirkungen,... und damit alle Naturgesetze sind auf die
Selbstwechselwirkungen, also Stöße, zurückzuführen und durch solche beschreibbar.
Bei diesen bleiben Energie und Impuls erhalten.
Der Beweis dieses starken
Satzes der Selbstorganisation kann in zwei Teile aufgespaltet werden und kann
hier nicht erfolgen, weil das eine zu umfangreiche Aufgabe wäre.
Beweisidee für den ersten Teil, den Nachweis der Beschreibbarkeit aller physikalischen Systembildungen des Standardmodells ist, dass diese durch Mittelwert- bzw. Ensemblebildung wie schon oben erwähnt den Objekten unserer Umgebung zugeordnet werden können. Ohne Zweifel muss es demnach auch eine umgekehrte Zuordnungsmöglichkeit geben. Das ist nicht durch eine einfache eindeutige Abbildung möglich, aber jedem Objekt unserer täglichen Umgebung können wir zumindest gedanklich die Bestandteile, also Moleküle bzw. Atome zuordnen. Mathematisch sind für die Generierung von Teilchenorten Zufallsgeneratoren denkbar. Auf gleiche Art muss es nun möglich sein, auch den derzeit kleinsten Strukturen des Standardmodells mit Zufallsgeneratoren noch kleinere Bestandteile, also die kleinen Kugeln oder „echten“ Atome zuzuordnen. Wichtige Voraussetzung für einen Erfolg ist dabei die Kenntnis von deren Größe, Durchschnittsgeschwindigkeit und Anzahldichte in unserer Umgebung.
Für den zweiten Teil des
Beweises, Energie- und Impulserhaltung, sollen weiter unten einige
Symmetrien im HKG und die grundsätzliche Gültigkeit der wichtigsten
Naturgesetze bei diesen einfache Stößen untersucht werden.
Außerdem wird hier versucht,
die Existenz einer schwächeren Form des obigen Satzes zu zeigen.
Schwacher Satz der
Selbstorganisation: In
der durch A5 definierten Menge können Strukturen existieren, die über
längere Zeit stabil bleiben.
Auch dieser Satz widerspricht
auf den ersten Blick dem zweiten Hauptsatz der Thermodynamik, deren Methoden ja
gewöhnlich zur Beschreibung eines einfachen harte Kugeln Gases verwendet
werden. Einen Hinweis auf stabile Strukturen geben allerdings die Schallwellen,
welche auch in einem idealen Gas harter Kugeln vorkommen können.