4.1 Allgemeine Gruppenstruktur
Wegen des Erfolges des Standardmodells, also der durch Versuche bestätigten Gültigkeit über weite Bereiche des uns zugänglichen Naturgeschehens, ist nur eine geringfügige Abweichung von der infinitesimalen Ausdehnung, zum Beispiel für die Erklärung der Gravitation, denkbar. Das betrachtete Medium muss deshalb sehr dünn sein, um eine Selbstwechselwirkung, im Verhältnis zu den Wechselwirkungen durch Einmischung (Superpositionsprinzip), nur geringfügig in Erscheinung treten zu lassen. Die Mischung von Spinor-Materie wird im Standardmodell aber im wesentlichen gerade durch algebraische Methoden beschrieben, welche die bekannten Strukturen der allgemeinen linearen Gruppen aufweisen. Durch Einführung lokaler Koordinaten werden als abgeschlossene Untergruppen von GL(n,K) die infinitesimalen Methoden erschlossen und somit auch die Kommutatoren [X,Y] = XY - YX Bestandteil der nun infinitesimalen oder Lieschen Theorie (vgl. [H90] S. 95f).
Weil die durch
elementare Zusammenstöße
erzeugten Kovariantengebilde des Standardmodells auch die
Gruppenstruktur
im Sinne der Operation von Gruppen auf Mengen erzeugen müssen, ist
hier erst einmal prinzipiell zu überprüfen, ob die
Haupteigenschaft
von Gruppen, nämlich die Gültigkeit des
Assoziativgesetzes
erfüllt ist. Am einfachsten wird das durch eine bildliche
Betrachtung
verständlich. Der einfache Zweierstoß
kommt am häufigsten vor, bei ihm stellt sich aber die Frage nach
der
Assoziativität noch nicht, weil ein nachfolgender Stoß im
Rahmen
der Feldtheorie als unabhängiges Ereignis betrachtet wird. Bei
einem
selten auftretenden Dreierstoß
wird bei infinitesimaler Betrachtung der Stoßpunkte und
damit
der Stoßachsen deutlich, dass die 
Ergebnisse
der Transformation sich nicht verändern, wenn die Reihenfolge
der Ereignisse geändert wird. Da nur die parallelen
Geschwindigkeitskomponenten
ausgetauscht werden, die zur Stoßachse orthogonalen Komponenten
dagegen
auf den ursprünglichen Kugeln erhalten bleiben, ändert sich
durch
die verschiedene Klammerbildung nichts und es gilt somit das Assoziativgesetz.
Ein neutrales Element
und die Umkehrung des Stoßvorganges,
also ein inverses Element, existieren natürlich auch. Durch
die
Stöße wird somit auf der Grundmenge tatsächlich die
Struktur
einer Gruppe erzeugt. Elementare Operation, gleich bei
welcher
Darstellung, ist der Tausch paralleler Geschwindigkeitskomponenten,
also
eine Permutation. Deshalb wird die elementare Gruppe auf der Grundmenge
die Permutationsgruppe. Bekanntlich ist aber jede Gruppe
isomorph
zu einer Permutationsgruppe, d.h. zu einer Untergruppe einer
symmetrischen
Gruppe ([H 90] S. 9).
Die Unitarität des elementaren
Selbstwechselwirkungsoperators
verursacht die Erhaltung der Wahrscheinlichkeit und somit die
entstehenden
unitären Gruppen.
Das alles ist im Prinzip nichts neues. Wie ist es aber möglich, dass die bekannten uns umgebenden Symmetrien in der Grundmenge so häufig wie beobachtet vorkommen, wenn doch die Uratome nur wirr durcheinander fliegende Kugeln sind? Wie können durch diese Symmetrien und deren Brechung stabile Systeme mit Eigenschaften wie Masse bzw. Energie, Drehimpuls, Ladung,... entstehen, ohne dass es zu Fluktuationen und schnelle Selbstauflösung kommt?
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